Fatouの補題 - ひたすら証明するブログ

【主張】

$\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ を $\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上定義された $\mathbb{R}_{\geq 0}\cup \{\infty \}$ 値確率変数列とする。この時、

\begin{align}
\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega) P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
\end{align}

が成り立つ。

【証明の前に】

通常我々が確率変数といった場合は実数値（ $\infty（{\rm or} -\infty）$ を含まない）を取る確率変数をいうが、ここでの被積分関数は $\infty（{\rm or} -\infty）$ をとる可能性がある。つまり、拡大実数値に値をとる確率変数に対する積分に概念を拡張していることを意味する。

となると、拡大実数値をとる確率変数に対する積分は通常の確率変数に対する積分の自然な拡張になっているのか？という疑問が沸くし、拡大実数にどのように位相を定義するのか？という疑問もわく。（なぜか、私が知る限り、確率・測度論のどの本にも詳細は載っていない...）

まあここら辺の整合性は後日詳しく確認することとして棚に上げさせてもらって、そこは保証されているとしよう。

【証明】

題意を示すには、任意の単関数 $\displaystyle \varphi\hspace{3pt}(s.t.\hspace{3pt}\varphi\leq \liminf_{n\rightarrow \infty}X_n)$ に対して、以下を示せばよい。

\begin{align}
\int_{\Omega}\varphi(\omega) P(d\omega)\leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\end{align}

任意に $\epsilon＞0$ をとって、 $E_n \in \mathcal{F}$ を以下の通り定義する。

\begin{align}
E_n := \big\{\omega \hspace{3pt}|\hspace{3pt} \varphi(\omega)-\epsilon\leq \inf_{n\leq k}X_k(\omega)\big\}
\end{align}

このとき、各 $n,k\hspace{3pt}(s.t.\hspace{3pt} n\leq k)$ に対して以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\int_{E_n}\varphi(\omega)-\epsilon P(d\omega)
&\leq&\int_{E_n}\inf_{n\leq k}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\int_{E_n}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\int_{\Omega}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}\\
\end{eqnarray}

4つ目の不等式は、大小関係のある数列が上・下極限についても関係が保存されること - ひたすら証明するブログからである。

このように、右辺が $n$ に依存しない形で評価できたところで、左辺について極限をとる。単関数 $\varphi$ が $\{A_k\}_{k=1}^l\subset \mathcal{F}$ を用いて $\displaystyle \varphi = \sum_{k=1}^l a_k 1_{\{A_k\}}$ と表されるとすると、

\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E_n}\varphi(\omega)-\epsilon P(d\omega)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) P(A_k\cap E_n)\\
&=&\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) \lim_{n\rightarrow \infty} P(A_k\cap E_n)\\
&=&\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) P(A_k)\\
&=&\sum_{k=1}^l a_k P(A_k) - \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\\
&=&\int_{\Omega}\varphi(\omega)P(d\omega) - \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\tag{2}
\end{eqnarray}

3つ目の等式は、単調増加（減少）な集合列と測度の関係からである。

よって、 $(1)$ と $(2)$ より、

\begin{eqnarray}
\int_{\Omega}\varphi(\omega)P(d\omega)
&\leq& \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega) + \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\\
&\leq& \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega) + \epsilon
\end{eqnarray}

よって、題意が示された。

以上

【感想】

この証明のミソは $E_n$ の定義にある。 $\epsilon$ 分だけ単関数 $\varphi$ を底下げすることで、 $E_n$ が単調に増加して和集合が $\Omega$ に収束するので、不等式の左辺の極限をとったときに $\displaystyle \int_{\Omega}\varphi(\omega) P(d\omega)$ に一致するのだ。

すごい！