ベッポ・レヴィの定理 - ひたすら証明するブログ

【主張】

確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上で定義された $\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$ 値確率変数列 $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ が以下を満たすとする。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \int_{\Omega}|X_n(\omega)|P(d\omega)<\infty\tag{1}
\end{eqnarray}

この時、ある $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 値確率変数 $X$ が存在して $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n=X$ $a.s.$ となり、以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
=
\int_\Omega X(\omega) P(d\omega)
\end{eqnarray}

【証明】

確率変数列 $\displaystyle \bigg\{ \sum_{k=1}^n |X_k| \bigg\}_{n=1}^\infty$ は単調非減少なので単調収束定理 - ひたすら証明するブログであることと $(1)$ より、以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\int_\Omega \sum_{n=1}^{\infty} |X_n(\omega)| P(d\omega)
=
\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega |X_n(\omega)| P(d\omega)
<
\infty
\end{eqnarray}

すなわち $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |X_n|$ は可積分であることから、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |X_n| ＜ \infty$ $a.s.$ となって、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n ＜ \infty$ $a.s.$ となる。

また、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n$ は $a.s.$ で絶対収束するので、 $a.s.$ で収束する。

ここで、 $X$ を以下のように定義すると、 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 値確率変数となる。

\begin{eqnarray}
X :=
\left\{
\begin{array}{}
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty X_n & {\rm if \hspace{7pt}} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n＜\infty \\
0 & {\rm if \hspace{7pt} else}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

すべての $n$ に対して $a.e.$ $on$ $E$ で以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\bigg|\sum_{k=1}^n X_k\bigg|
\leq
\sum_{k=1}^n \big|X_k\big|
\leq
\sum_{n=1}^\infty \big|X_n\big|
\end{eqnarray}

よって、優収束定理 - ひたすら証明するブログより題意が示される。

以上

【感想】