単調収束定理

【主張】

確率空間上定義された非減少な 確率変数列 に対して、

\begin{align}
\int_\Omega \lim_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega) P(d\omega)
=
\lim_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
\end{align}

が成り立つ。

【証明】

Fatouの補題 - maconomicsの日記より、以下は自明。

\begin{eqnarray}
\int_{\Omega}\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\end{eqnarray}

よって、以下を示せばよい。

\begin{eqnarray}
\limsup_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\int_{\Omega}\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

 これは、は単調非減少であることから、すべてのに対して以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
X_n
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n
\end{eqnarray}

よって、ある可測集合上での確率変数の大小がその積分区間での積分でも保存される性質と上極限の性質から、が成り立つ。

以上

【感想】

ほとんどFatouの補題ですね。