大小関係のある数列の上・下極限に関する性質
【主張】
とする。この時、以下が成り立つ。
\begin{align}
\limsup_{n \rightarrow \infty }a_n \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} b_n
\end{align}
【証明】
仮定より、に対して、ならばとなる。また、下限と下極限の定義から、以下が導かれる。
\begin{align}
a_n \leq \inf_{n\leq k}b_k \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}b_k
\end{align}
よって、最左辺についてに関して上極限を取れば、題意が示される。
以上