大小関係のある測度間の性質 - ひたすら証明するブログ

【主張】

測度空間 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上で定義された測度 $v,\mu$ が、全ての $F\in\mathcal{F}$ について以下が成立するとする。

\begin{eqnarray}
v(F) \leq \mu(F)
\end{eqnarray}

この時、 $\Omega$ の有限分割 $\mathcal{P}:=\{A_1, A_2,\cdots,A_N\}$ $(s.t.$ $\forall n \in \{1,2,\cdots, N\}, \hspace{3pt} A_n \in \mathcal{F})$ に対して単関数 $h_{\mathcal{P}}$ を以下の通り定義する。

\begin{eqnarray}
h_{\mathcal{P}} :=
\left\{
\begin{array}{}
\displaystyle \frac{v(A_n)}{\mu(A_n)} & {\rm if \hspace{7pt} \mu(A_n)＞0\hspace{7pt} and \hspace{7pt}\omega\in A_n} \\
0 & {\rm if \hspace{7pt} \mu(F)=0\hspace{7pt} and \hspace{7pt}\omega\in A_n}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

このとき、以下が成り立つ。

有限分割 $\mathcal{P},\mathcal{Q}$ について、 $\mathcal{Q}$ が $\mathcal{P}$ の細分 $(:=\hspace{3pt}\mathcal{P}\subset\mathcal{Q})$ であるとすると、

\begin{eqnarray}
&A_n&\in\mathcal{P},\hspace{7pt}
\int_{A_n} h_{\mathcal{P}} dv = \int_{A_n} h_{\mathcal{Q}} dv\\
\end{eqnarray}

【証明】

左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_{A_n} h_{\mathcal{P}} dv
&=&
\frac{\mu(A_n)}{v(A_n)}\cdot v(A_n)\\
&=&
\mu(A_n)
\end{eqnarray}

右辺について、 $\displaystyle A_n:=\bigcup_{i=1}^{I^n}A_n^{i}$ $(s.t.\hspace{3pt}A_i\cap A_j \neq \emptyset \hspace{5pt}{\rm if}\hspace{5pt}i\neq j)$ とすると、

\begin{eqnarray}
\int_{A_n} h_{\mathcal{Q}} dv
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \int_{A_n^i} h_{\mathcal{Q}} dv\\
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \frac{\mu(A_n^i)}{v(A_n^i)}\cdot v(A_n^i) \\
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \mu(A_n^i) \\
&=&
\mu(A_n)
\end{eqnarray}

よって、題意は示された

【感想】