優収束定理 - ひたすら証明するブログ

【主張】

確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上定義された $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数列 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、ある可積分な $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数 $X$ と可測集合 $E\in\mathcal{F}$ があり、 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} X_n = X$ $a.e.$ $on$ $E$ とする。

また、ある可積分な $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数 $Y$ （ $s.t.$ $Y ＜ \infty$ $a.e.$ $on$ $E$ ）があって、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して以下が成り立つとする。

\begin{eqnarray}
|X_n|
\leq
Y\hspace{5pt}a.e. \hspace{3pt}on \hspace{3pt} E
\end{eqnarray}

このとき、 $X$ は $E$ 上可積分で以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega) P(d\omega) = \int_E X(\omega) P(d\omega)
\end{eqnarray}

【証明】

以下の二つを示せばよい。

\begin{eqnarray}
\int_E X(\omega) P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\limsup_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\int_E X(\omega) P(d\omega)\tag{2}
\end{eqnarray}
を示せばよい。

$(1).$

$Z_n:=X_n + Y$ と定義すると、 $|X_n|\leq Y$ $a.e.$ $on$ $E$ より、 $Z_n \geq 0$ $a.e.$ $on$ $E$ となる。

ここで、 $Z_n$ に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{A}
\end{eqnarray}

上式の左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(X_n(\omega)+Y(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\big(\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)\big)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)
+\int_EY(\omega)P(d\omega)\tag{B}\\
\end{eqnarray}

右辺については、

\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\bigg)
+\int_E Y(\omega)P(d\omega)\tag{C}\\
\end{eqnarray}

よって、 $(A)\sim(C)$ より $(1)$ の $\leq$ が成立する。

$(2).$

$Z_n=Y- X_n$ と定義すると、これも $(1)$ と同様に $Z_n \geq 0$ $a.e.$ $on$ $E$ となる。

よって同様に、 $Z_n$ に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

上式の左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(Y(\omega)-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega) + \liminf_{n\rightarrow \infty} \big(- X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
+ \int_E \liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
- \int_E \limsup_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}

右辺については、

\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Y(\omega)-X_n(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)+\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
+\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(-\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\bigg)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
-\limsup_{n\rightarrow \infty}
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}

よって、 $(2)$ の $\leq$ が成立することから題意は示された。

以上