【主張】 を上定義された 値確率変数列とする。この時、 \begin{align}\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega) P(d\omega)\leq\liminf_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)\end{align} が成り立つ。 【証明の前に】 …

【主張】 とする。この時、以下が成り立つ。 \begin{align}\limsup_{n \rightarrow \infty }a_n \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} b_n\end{align} 【証明】 仮定より、に対して、ならばとなる。また、下限と下極限の定義から、以下が導かれる。 \begin{a…