優収束定理
【主張】
確率空間 上定義された 値確率変数列 に対して、ある可積分な 値確率変数 と可測集合 があり、 とする。
また、ある可積分な 値確率変数 ( )があって、任意の に対して以下が成り立つとする。
\begin{eqnarray}
|X_n|
\leq
Y\hspace{5pt}a.e. \hspace{3pt}on \hspace{3pt} E
\end{eqnarray}
このとき、 は 上可積分で以下が成立する。
\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega) P(d\omega) = \int_E X(\omega) P(d\omega)
\end{eqnarray}
【証明】
以下の二つを示せばよい。
\begin{eqnarray}
\int_E X(\omega) P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\limsup_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\int_E X(\omega) P(d\omega)\tag{2}
\end{eqnarray}
を示せばよい。
と定義すると、 より、 となる。
ここで、 に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。
\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{A}
\end{eqnarray}
上式の左辺について、
\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(X_n(\omega)+Y(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\big(\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)\big)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)
+\int_EY(\omega)P(d\omega)\tag{B}\\
\end{eqnarray}
右辺については、
\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\bigg)
+\int_E Y(\omega)P(d\omega)\tag{C}\\
\end{eqnarray}
よって、 より の が成立する。
と定義すると、これも と同様に となる。
よって同様に、 に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。
\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}
上式の左辺について、
\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(Y(\omega)-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega) + \liminf_{n\rightarrow \infty} \big(- X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
+ \int_E \liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
- \int_E \limsup_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}
右辺については、
\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Y(\omega)-X_n(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)+\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
+\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(-\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\bigg)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
-\limsup_{n\rightarrow \infty}
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}
よって、 の が成立することから題意は示された。
以上