大小関係のある数列の上・下極限に関する性質

【主張】

とする。この時、以下が成り立つ。

\begin{align}
\limsup_{n \rightarrow \infty }a_n \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} b_n
\end{align}

【証明】

仮定より、に対して、ならばとなる。また、下限と下極限の定義から、以下が導かれる。

\begin{align}
a_n \leq \inf_{n\leq k}b_k \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}b_k
\end{align}

よって、最左辺についてに関して上極限を取れば、題意が示される。

以上