2021-10-07

テスト２

測度と積分

2021-10-07

テスト

測度と積分

【主張】

【概要】

【証明】

2020-03-07

大小関係のある測度間の性質

【主張】

測度空間 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上で定義された測度 $v,\mu$ が、全ての $F\in\mathcal{F}$ について以下が成立するとする。

\begin{eqnarray}
v(F) \leq \mu(F)
\end{eqnarray}

この時、 $\Omega$ の有限分割 $\mathcal{P}:=\{A_1, A_2,\cdots,A_N\}$ $(s.t.$ $\forall n \in \{1,2,\cdots, N\}, \hspace{3pt} A_n \in \mathcal{F})$ に対して単関数 $h_{\mathcal{P}}$ を以下の通り定義する。

\begin{eqnarray}
h_{\mathcal{P}} :=
\left\{
\begin{array}{}
\displaystyle \frac{v(A_n)}{\mu(A_n)} & {\rm if \hspace{7pt} \mu(A_n)＞0\hspace{7pt} and \hspace{7pt}\omega\in A_n} \\
0 & {\rm if \hspace{7pt} \mu(F)=0\hspace{7pt} and \hspace{7pt}\omega\in A_n}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

このとき、以下が成り立つ。

有限分割 $\mathcal{P},\mathcal{Q}$ について、 $\mathcal{Q}$ が $\mathcal{P}$ の細分 $(:=\hspace{3pt}\mathcal{P}\subset\mathcal{Q})$ であるとすると、

\begin{eqnarray}
&A_n&\in\mathcal{P},\hspace{7pt}
\int_{A_n} h_{\mathcal{P}} dv = \int_{A_n} h_{\mathcal{Q}} dv\\
\end{eqnarray}

【証明】

左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_{A_n} h_{\mathcal{P}} dv
&=&
\frac{\mu(A_n)}{v(A_n)}\cdot v(A_n)\\
&=&
\mu(A_n)
\end{eqnarray}

右辺について、 $\displaystyle A_n:=\bigcup_{i=1}^{I^n}A_n^{i}$ $(s.t.\hspace{3pt}A_i\cap A_j \neq \emptyset \hspace{5pt}{\rm if}\hspace{5pt}i\neq j)$ とすると、

\begin{eqnarray}
\int_{A_n} h_{\mathcal{Q}} dv
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \int_{A_n^i} h_{\mathcal{Q}} dv\\
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \frac{\mu(A_n^i)}{v(A_n^i)}\cdot v(A_n^i) \\
&=&
\sum_{i=1}^{l^n} \mu(A_n^i) \\
&=&
\mu(A_n)
\end{eqnarray}

よって、題意は示された

【感想】

2020-03-01

ベッポ・レヴィの定理

【主張】

確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上で定義された $\mathbb{R}_{\geq 0}\cup\{\infty\}$ 値確率変数列 $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ が以下を満たすとする。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \int_{\Omega}|X_n(\omega)|P(d\omega)<\infty\tag{1}
\end{eqnarray}

この時、ある $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 値確率変数 $X$ が存在して $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n=X$ $a.s.$ となり、以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
=
\int_\Omega X(\omega) P(d\omega)
\end{eqnarray}

【証明】

確率変数列 $\displaystyle \bigg\{ \sum_{k=1}^n |X_k| \bigg\}_{n=1}^\infty$ は単調非減少なので単調収束定理 - ひたすら証明するブログであることと $(1)$ より、以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\int_\Omega \sum_{n=1}^{\infty} |X_n(\omega)| P(d\omega)
=
\sum_{n=1}^\infty \int_\Omega |X_n(\omega)| P(d\omega)
<
\infty
\end{eqnarray}

すなわち $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |X_n|$ は可積分であることから、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |X_n| ＜ \infty$ $a.s.$ となって、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n ＜ \infty$ $a.s.$ となる。

また、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} X_n$ は $a.s.$ で絶対収束するので、 $a.s.$ で収束する。

ここで、 $X$ を以下のように定義すると、 $\mathbb{R}_{\geq 0}$ 値確率変数となる。

\begin{eqnarray}
X :=
\left\{
\begin{array}{}
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty X_n & {\rm if \hspace{7pt}} \displaystyle\sum_{n=1}^\infty X_n＜\infty \\
0 & {\rm if \hspace{7pt} else}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

すべての $n$ に対して $a.e.$ $on$ $E$ で以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\bigg|\sum_{k=1}^n X_k\bigg|
\leq
\sum_{k=1}^n \big|X_k\big|
\leq
\sum_{n=1}^\infty \big|X_n\big|
\end{eqnarray}

よって、優収束定理 - ひたすら証明するブログより題意が示される。

以上

【感想】

2020-02-27

優収束定理

【主張】

確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上定義された $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数列 $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、ある可積分な $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数 $X$ と可測集合 $E\in\mathcal{F}$ があり、 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} X_n = X$ $a.e.$ $on$ $E$ とする。

また、ある可積分な $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 値確率変数 $Y$ （ $s.t.$ $Y ＜ \infty$ $a.e.$ $on$ $E$ ）があって、任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して以下が成り立つとする。

\begin{eqnarray}
|X_n|
\leq
Y\hspace{5pt}a.e. \hspace{3pt}on \hspace{3pt} E
\end{eqnarray}

このとき、 $X$ は $E$ 上可積分で以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega) P(d\omega) = \int_E X(\omega) P(d\omega)
\end{eqnarray}

【証明】

以下の二つを示せばよい。

\begin{eqnarray}
\int_E X(\omega) P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\limsup_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\int_E X(\omega) P(d\omega)\tag{2}
\end{eqnarray}
を示せばよい。

$(1).$

$Z_n:=X_n + Y$ と定義すると、 $|X_n|\leq Y$ $a.e.$ $on$ $E$ より、 $Z_n \geq 0$ $a.e.$ $on$ $E$ となる。

ここで、 $Z_n$ に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{A}
\end{eqnarray}

上式の左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(X_n(\omega)+Y(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\big(\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)\big)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)
+\int_EY(\omega)P(d\omega)\tag{B}\\
\end{eqnarray}

右辺については、

\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E X_n(\omega)+Y(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)
\bigg)
+\int_E Y(\omega)P(d\omega)\tag{C}\\
\end{eqnarray}

よって、 $(A)\sim(C)$ より $(1)$ の $\leq$ が成立する。

$(2).$

$Z_n=Y- X_n$ と定義すると、これも $(1)$ と同様に $Z_n \geq 0$ $a.e.$ $on$ $E$ となる。

よって同様に、 $Z_n$ に対して Fatouの補題 - maconomicsの日記を適用すると、以下が成立する。

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_EZ_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

上式の左辺について、

\begin{eqnarray}
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\int_E\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(Y(\omega)-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega) + \liminf_{n\rightarrow \infty} \big(- X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
+ \int_E \liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_EY(\omega)P(d\omega)
- \int_E \limsup_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}

右辺については、

\begin{eqnarray}
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Z_n(\omega)P(d\omega)
&:=&
\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_E Y(\omega)-X_n(\omega)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)+\liminf_{n\rightarrow \infty}\big(-X_n(\omega)\big)P(d\omega)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
+\liminf_{n\rightarrow \infty}
\bigg(-\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\bigg)\\
&=&
\int_E Y(\omega)P(d\omega)
-\limsup_{n\rightarrow \infty}
\int_E X_n(\omega)P(d\omega)\\
\end{eqnarray}

よって、 $(2)$ の $\leq$ が成立することから題意は示された。

以上

2020-02-27

単調収束定理

【主張】

確率空間 $\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上定義された非減少な $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ 確率変数列 $\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、

\begin{align}
\int_\Omega \lim_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega) P(d\omega)
=
\lim_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
\end{align}

が成り立つ。

【証明】

Fatouの補題 - maconomicsの日記より、以下は自明。

\begin{eqnarray}
\int_{\Omega}\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\end{eqnarray}

よって、以下を示せばよい。

\begin{eqnarray}
\limsup_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\leq
\int_{\Omega}\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}
\end{eqnarray}

これは、 $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ は単調非減少であることから、すべての $n$ に対して以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
X_n
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty}X_n
\end{eqnarray}

よって、ある可測集合上での確率変数の大小がその積分区間での積分でも保存される性質と上極限の性質から、 $(1)$ が成り立つ。

以上

【感想】

ほとんどFatouの補題ですね。

2020-02-25

Fatouの補題

【主張】

$\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ を $\displaystyle (\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上定義された $\mathbb{R}_{\geq 0}\cup \{\infty \}$ 値確率変数列とする。この時、

\begin{align}
\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow \infty} X_n(\omega) P(d\omega)
\leq
\liminf_{n\rightarrow \infty} \int_\Omega X_n(\omega) P(d\omega)
\end{align}

が成り立つ。

【証明の前に】

通常我々が確率変数といった場合は実数値（ $\infty（{\rm or} -\infty）$ を含まない）を取る確率変数をいうが、ここでの被積分関数は $\infty（{\rm or} -\infty）$ をとる可能性がある。つまり、拡大実数値に値をとる確率変数に対する積分に概念を拡張していることを意味する。

となると、拡大実数値をとる確率変数に対する積分は通常の確率変数に対する積分の自然な拡張になっているのか？という疑問が沸くし、拡大実数にどのように位相を定義するのか？という疑問もわく。（なぜか、私が知る限り、確率・測度論のどの本にも詳細は載っていない...）

まあここら辺の整合性は後日詳しく確認することとして棚に上げさせてもらって、そこは保証されているとしよう。

【証明】

題意を示すには、任意の単関数 $\displaystyle \varphi\hspace{3pt}(s.t.\hspace{3pt}\varphi\leq \liminf_{n\rightarrow \infty}X_n)$ に対して、以下を示せばよい。

\begin{align}
\int_{\Omega}\varphi(\omega) P(d\omega)\leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)
\end{align}

任意に $\epsilon＞0$ をとって、 $E_n \in \mathcal{F}$ を以下の通り定義する。

\begin{align}
E_n := \big\{\omega \hspace{3pt}|\hspace{3pt} \varphi(\omega)-\epsilon\leq \inf_{n\leq k}X_k(\omega)\big\}
\end{align}

このとき、各 $n,k\hspace{3pt}(s.t.\hspace{3pt} n\leq k)$ に対して以下が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\int_{E_n}\varphi(\omega)-\epsilon P(d\omega)
&\leq&\int_{E_n}\inf_{n\leq k}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\int_{E_n}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\int_{\Omega}X_k(\omega)P(d\omega)\\
&\leq&\liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega)\tag{1}\\
\end{eqnarray}

4つ目の不等式は、大小関係のある数列が上・下極限についても関係が保存されること - ひたすら証明するブログからである。

このように、右辺が $n$ に依存しない形で評価できたところで、左辺について極限をとる。単関数 $\varphi$ が $\{A_k\}_{k=1}^l\subset \mathcal{F}$ を用いて $\displaystyle \varphi = \sum_{k=1}^l a_k 1_{\{A_k\}}$ と表されるとすると、

\begin{eqnarray}
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E_n}\varphi(\omega)-\epsilon P(d\omega)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) P(A_k\cap E_n)\\
&=&\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) \lim_{n\rightarrow \infty} P(A_k\cap E_n)\\
&=&\sum_{k=1}^l (a_k-\epsilon) P(A_k)\\
&=&\sum_{k=1}^l a_k P(A_k) - \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\\
&=&\int_{\Omega}\varphi(\omega)P(d\omega) - \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\tag{2}
\end{eqnarray}

3つ目の等式は、単調増加（減少）な集合列と測度の関係からである。

よって、 $(1)$ と $(2)$ より、

\begin{eqnarray}
\int_{\Omega}\varphi(\omega)P(d\omega)
&\leq& \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega) + \epsilon \sum_{k=1}^l P(A_k)\\
&\leq& \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega}X_n(\omega)P(d\omega) + \epsilon
\end{eqnarray}

よって、題意が示された。

以上

【感想】

この証明のミソは $E_n$ の定義にある。 $\epsilon$ 分だけ単関数 $\varphi$ を底下げすることで、 $E_n$ が単調に増加して和集合が $\Omega$ に収束するので、不等式の左辺の極限をとったときに $\displaystyle \int_{\Omega}\varphi(\omega) P(d\omega)$ に一致するのだ。

すごい！